Averaging of nonautonomous damped wave equations with singularly oscillating external forces

We consider, for ρ ∈ [0,1] and ε > 0 small, the nonautonomous weakly damped wave equation with a singularly oscillating external force ∂2 t u− u+ γ ∂tu=−f (u)+ g0(t)+ ε−ρg1(t/ε), together with the averaged equation ∂2 t u− u+ γ ∂tu=−f (u)+ g0(t). Under suitable assumptions on the nonlinearity and the external force, we prove the uniform (with respect to ε) boundedness of the attractors Aε in the weak energy space. If ρ < 1, we establish the convergence of the attractor Aε of the first equation to the attractor A0 of the second one, as ε → 0+. On the other hand, if ρ = 1, this convergence may fail. When A0 is exponential, then the convergence rate of Aε to A0 is controlled by Mεη, for some M 0 and some η= η(ρ) ∈ (0,1). © 2008 Elsevier Masson SAS. All rights reserved. Résumé Pour tout ρ ∈ [0,1] et pour ε > 0 suffisamment petit, on considère l’équation des ondes non autonome faiblement amortie avec une force extérieure singulière et oscillatoire ∂2 t u− u+ γ ∂tu=−f (u)+ g0(t)+ ε−ρg1(t/ε), et le problème moyenné ∂2 t u− u+ γ ∂tu=−f (u)+ g0(t). Avec des hypothèses adéquates sur la nonlinéarité et sur la force, on obtient une borne uniforme (par rapport à ε) pour les attracteurs Aε dans l’espace faible d’énergie. Si ρ < 1, on démontre la convergence de l’attracteur Aε de la première équation vers l’attracteur ✩ Work partially supported by the Russian Foundation of Basic Researches (Projects nos. 05-01-00390 and 04-01-00735) and by the Italian PRIN Research Project 2006 Problemi a frontiera libera, transizioni di fase e modelli di isteresi. The first author has been supported by a Fellowship by the Cariplo Foundation. * Corresponding author. E-mail addresses: [email protected] (V.V. Chepyzhov), [email protected] (V. Pata), [email protected] (M.I. Vishik). 0021-7824/$ – see front matter © 2008 Elsevier Masson SAS. All rights reserved. doi:10.1016/j.matpur.2008.07.001 470 V.V. Chepyzhov et al. / J. Math. Pures Appl. 90 (2008) 469–491 A0 de la deuxième équation lorsque ε → 0+. D’autre part, si ρ = 1, cette convergence peut ne pas avoir lieu. Quand A0 est exponentiel, la vitesse de convergence de Aε vers A0 est bornée par Mεη, pour certains M 0 et η= η(ρ) ∈ (0,1). © 2008 Elsevier Masson SAS. All rights reserved. MSC: 35B05; 35B25; 35B41; 35L05